Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vu...

Câu hỏi: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt cạnh SC tại C’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’.

A. $\frac{a^{3}}{3}$

B. $\frac{16 a^{3}}{45}$

C. $\frac{a^{3}}{2}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, nối $S O \cap B' D' = I$ .

Và nối AI cát SC tại C’ suy ra mp (AB’D’) cắt SC tại C’.

Tam giác SAC vuông tại A, có $S C^{2} = S A^{2} + A C^{2} = 6 a^{2} \Rightarrow S C = a \sqrt{6}$ .

Ta có $B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A B'$ và $S B ⊥ A B' \Rightarrow A B' ⊥ S C$ .

Tương tự $A D' ⊥ S C$ suy ra $S C ⊥ (A B' D') \equiv (A B' C' D') \Rightarrow S C ⊥ A C'$ .

Mà $S C' . S C = S A^{2} \Rightarrow \frac{S C'}{S C} = \frac{S A^{2}}{S C^{2}} = \frac{2}{3}$ và $\frac{S B'}{S B} = \frac{S A^{2}}{S B^{2}} = \frac{4}{5}$ .

Do đó $V_{S . A B' C'} = \frac{8}{15} V_{S . A B C} = \frac{8}{30} V_{S . A B C D}$ mà $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . S A . S_{A B C D} = \frac{2 a^{3}}{3}$ .

Vậy thể tích cần tính là $V_{S . A B' C' D'} = 2 . V_{S . A B' C'} = \frac{16 a^{3}}{45}$

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Tổng hợp đề thi THPTQG môn Toán cực hay, có lời giải chi tiết !!

↑