Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz...

C

- Hướng dẫn giải

Đáp án C

Do AB có độ dài không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi tổng $\left(AC+BC\right)$ nhỏ nhất.

Do

$\begin{array}{l}C\in d\Rightarrow C\left(t;0;2-t\right)\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AC=\sqrt{2{\left(t-2\right)}^2+9}\\ BC=\sqrt{t^2+{\left(2-t\right)}^2+2}\\ =\sqrt{2{\left(1-t\right)}^2+4}\end{array}\right.\end{array}$

Suy ra $AC+BC$$=\sqrt{{\left(\sqrt{2}t-2\sqrt{2}\right)}^2+9}$$+\sqrt{{\left(\sqrt{2}-\sqrt{2}t\right)}^2+4}$  .

Đặt  $\overrightarrow{u}=\left(\sqrt{2}t-2\sqrt{2};3\right)$và $\overrightarrow{v}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{2}t;2\right)$. Áp dụng bất đẳng thức $\left|\overrightarrow{u}\right|+\left|\overrightarrow{v}\right|\ge \left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|$  , dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ cùng hướng ta được:

$\sqrt{{\left(\sqrt{2}t-2\sqrt{2}\right)}^2+9}$$+\sqrt{{\left(\sqrt{2}-\sqrt{2}t\right)}^2+4}\ge$$\sqrt{{\left(-\sqrt{2}\right)}^2+5^2}=\sqrt{27}$

Dấu “=” xảy ra $\iff \frac{\sqrt{2}t-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{2}t}=\frac{3}{2}$$\iff \frac{t-2}{1-t}=\frac{3}{2}\iff t=\frac{7}{5}$. Suy ra $C\left(\frac{7}{5};0;\frac{3}{5}\right)$.

Vậy$CM=\sqrt{{\left(\frac{7}{5}-\frac{6}{5}\right)}^2+{\left(0+\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\frac{3}{5}-2\right)}^2}=2$