Cho hàm số

Câu hỏi: Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x$ $- m^{3} + 4 m - 1$ . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị tạo với gốc tọa độ O một tam giác vuông tại O khi

A. $[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 2 \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = 2 \end{array}$

C. $m = - 1$

D. $m = 2$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Đạo hàm $y' = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1);$ $Δ' = {(- 3 m)}^{2} - 9 (m^{2} - 1) = 9$ . Suy ra phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $[\begin{array}{l} x_{1} = \frac{3 m + 3}{3} = m + 1 \\ x_{2} = \frac{3 m - 3}{3} = m - 1 \end{array}$

Vậy đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị với mọi m.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y = - 2 x + 3 m - 1$ .

Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là $A (m + 1; m - 3)$ và $B (m - 1; m + 1)$ .

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow Δ O A B$ vuông tại $O \Leftrightarrow \vec{O A} . \vec{O B} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (m + 1) (m - 1) + (m - 3) (m + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow (m + 1) (2 m - 4) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = 2 \end{array} \end{array}$

Sử dụng MTCT để xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:

Ta có $y' = 3 x^{2} - 6 m x + 3 (m^{2} - 1);$ $y'' = 6 x - 6 m$ . Đưa máy tính về chế độ CMPLX và nhập vào máy biểu thức $y - \frac{y' . y''}{18 a}$ (coi $x = X; m = Y$ ).