Cho hàm số

A

- Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm của $\left(c_m\right)$ và $d:x^3-3x^2+(m+1)x+1=x+1$ 

$\iff x^3-3x^2+mx=0\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ x^2-3x+m=0\left(*\right)\end{array}\right.$

Để $\left(c_m\right)$ cắt d tại ba điểm phân biệt $P(0;1),M,N$ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ khác 0 $\iff \left\{\begin{array}{l}{0}^2-3.0+m\not\equiv 0\\ ∆={(-3)}^2-4m>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\not\equiv 0\\ m<\frac{9}{4}\end{array}\right.$

 Giả sử $M(x_1;x_1+1)$vàvới $N(x_2;x_2+1)$ là nghiệm của phương trình (*).

Theo định lý Vi-ét ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=3\\ x_1{x}_2=m\end{array}\right.$

Để tam giác OMN vuông tại O thì $\overrightarrow{OM }.\overrightarrow{ON }=0\iff x_1{x}_2+(x_1+1)(x_2+1)=0$

$\iff 2x_1{x}_2+(x_1+x_2)+1=0\iff 2m+4=0\iff m=-2$ (thỏa mãn)