Cho hình lăng trục tam giác ABC.A’B’C’ có đá...

- Hướng dẫn giải

Chọn đáp án D

Gọi H là trung điểm của cạnh BC. Suy ra $B^{\text{'}}H\perp \left(ABC\right)$ 

$∆ABC$ vuông tại A nên $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=5$ 

vuông tại H nên $B^{\text{'}}H=\sqrt{B^{\text{'}}{B}^2-B{H}^2}=3$ 

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình, trong đó $A\equiv O\left(0;0;0\right), B\left(3;0;0\right),C\left(0;4;0\right)$.

Ta có H là trung điểm của BC nên $H\left(\frac{3}{2};2;0\right)$,  H là hình chiếu của B’ trên bề mặt phẳng (ABC) nên $B^{\text{'}}\left(\frac{3}{2};2;3\right)$.

Từ $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}=\stackrel{\rightharpoonup }{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$ suy ra

Từ $\stackrel{\rightharpoonup }{AC}=\stackrel{\rightharpoonup }{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ suy ra

M là trung điểm của A’B’ nên M(0;2;3).

Ta có

Mặt phẳng (AMC’) có một vectơ pháp tuyến là $\stackrel{\rightharpoonup }{n_1}=\left(8;3;-2\right)$.

Lại có $\stackrel{\rightharpoonup }{A^{\text{'}}B}=\left(\frac{9}{2};-2;-3\right),\stackrel{\rightharpoonup }{A^{\text{'}}C}=\left(\frac{3}{2};2;-3\right)$

$\Rightarrow \left[\stackrel{\rightharpoonup }{A^{\text{'}}B},\stackrel{\rightharpoonup }{A^{\text{'}}C}\right]=\left(12;9;12\right)$

$\Rightarrow$Mặt phẳng (A’BC) có một vectơ pháp tuyến là $\stackrel{\rightharpoonup }{n_2}=\left(4;3;4\right)$.

Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (AMC’) và (A’BC) thì:

$\Rightarrow \cos \alpha =\frac{33}{\sqrt{3157}}$