Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp: Chứng minh góc giữa \(BI\) và \(SD\) là góc giữa \(MD\) và \(SD\) với \(M\) là trung điểm \(AB\). Giải tam giác \(SMD\)

Giải chi tiết:

Cách giải

Gọi \(M\) là trung điểm \(AB\) , ta có \(BMDI\) là hình bình hành \( \Rightarrow MD//BI\)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {BI;SD} \right)} = \widehat {\left( {MD;SD} \right)}\)

Vì \(DA \bot AB,DA \bot SA \Rightarrow DA \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \) góc giữa \(SD\) và \(\left( {SAB} \right)\)  là góc giữa \(SD\) và \(SA\) và bằng góc \(DSA\)

\( \Rightarrow \Delta ASD\) vuông cân tại \(A\)

Gọi cạnh của hình vuông \(ABCD\) là \(a\), ta có

\(\begin{array}{l}AM = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{a}{2}\\SM = \sqrt {S{A^2} + A{M^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\\MD = \sqrt {A{D^2} + A{M^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta SMD\) cân tại \(M\) . Gọi \(H\) là trung điểm \(SD \Rightarrow MH \bot SD\)

\(HD = SH = \dfrac{{SD}}{2} = \dfrac{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(\cos \left( {SD;MD} \right) = \cos \widehat {MDH} = \dfrac{{HD}}{{MD}} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow \widehat {\left( {SD;MD} \right)} = \arccos \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }} \approx 51^\circ \)

Chọn đáp án C