a)  Cho hai đa thức: \(P=a{{x}^{4}}{{y}^{3}}+4{{y}...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a.  Để cộng hai đa thức P và Q ta nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau và rút gọn.

-        Để đa thức H có bậc bằng 3 thì các hạng tử có bậc lớn hơn 3 trong đa thức đó phải có hệ số bằng 0.

b. Chứng minh bằng phản chứng.

Giải chi tiết:

\(\begin{align}  & a)\ \ H=P+Q=a{{x}^{4}}{{y}^{3}}+4{{y}^{2}}-3x{{y}^{2}}+x{{y}^{6}}+2018+10x{{y}^{2}}+b{{x}^{4}}{{y}^{3}}-a{{y}^{5}}-x{{y}^{6}} \\  & \ \ \ \ \ \ \ =\left( a{{x}^{4}}{{y}^{3}}+b{{x}^{4}}{{y}^{3}} \right)+\left( x{{y}^{6}}-x{{y}^{6}} \right)+\left( 10x{{y}^{2}}-3x{{y}^{2}} \right)-a{{y}^{5}}+4{{y}^{2}}+2018 \\  & \ \ \ \ \ \ \ =\left( a+b \right){{x}^{4}}{{y}^{3}}+4{{y}^{2}}+7x{{y}^{2}}-a{{y}^{5}}+2018. \\ \end{align}\)

Đa thức H có bậc bằng 3 \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a+b=0 \\  & a=0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow a=b=0.\)

b. Ta gọi: \(A=\frac{2}{3}x{{y}^{3}} \,;\,\,\,B=-4{{x}^{4}}{{y}^{2}}\,;\,\,\,C=\frac{-3}{4}{{x}^{3}}{{y}^{5}}\)

Giả sử tại giá trị x, y nào đó ta có \(A<0,\ B<0,\ C<0.\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow A.B.C<0 \\  & \Rightarrow \left( \frac{2}{3}x{{y}^{3}} \right)\left( -4{{x}^{4}}{{y}^{2}} \right)\left( \frac{-3}{4}{{x}^{3}}{{y}^{5}} \right)<0 \\  & \Rightarrow \left( \frac{2}{3}\cdot (-4)\cdot \frac{-3}{4} \right)\left( x{{y}^{3}} \right)\left( {{x}^{4}}{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{3}}{{y}^{5}} \right)<0 \\  & \Rightarrow 2{{x}^{8}}{{y}^{10}}<0\,\,\,\,\,\,\,(*) \\ \end{align}\)

Vì \({{x}^{8}}\ge 0\) với mọi x, \({{y}^{10}}\ge 0\) với mọi y nên suy ra \(2{{x}^{8}}{{y}^{10}}\ge 0\) với mọi x, y (mâu thuẫn với (*)).

\(\Rightarrow \) 3 đơn thức A, B, C không cùng nhận giá trị âm tại cùng giá trị nào đó của x, y.

 Chọn A