Cho tam giác ABC cân tại A.Trên cạnh AB lấy điểm M...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Sử dụng tính chất tam giác cân, lập công thức\(AM+AN=\left( ABBM \right)+\left( \text{A}C+CN \right)\)kết hợp giả thiết đã cho \(AM+AN=2AB\) để suy ra điều phải chứng minh.

b) Gọi \(I=MN\cap BC\) . Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E

+ Sử dụng các trường hợp bằng nhau góc- cạnh –góc của tam giác \(\Rightarrow \Delta MEI=\Delta NCI\), từ đó suy ra cặp cạnh tương ứng MI = NI và chứng minh được I là trung điểm của MN

c) + Sử dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác cạnh – góc – cạnh; cạnh – cạnh – cạnh để chứng minh các cặp tam giác bằng nhau rồi suy ra hai góc tương ứng bằng nhau, hai cạnh tương ứng bằng nhau

+Sử dụng tính chất hai góc kề bù để suy ra \(\Rightarrow KC\bot AN\).

Giải chi tiết:

a) Ta có: \(\Delta ABC\) cân tại A, suy ra\(AB=AC\) (tính chất tam giác cân).

Ta có:\(AM+AN=\left( ABBM \right)+\left( \text{A}C+CN \right)=2ABBM+CN\).(do \(AB=AC\))

Lại có: \(AM+AN=2AB\) (gt), nên suy ra

 \(\begin{align}  & 2AB-BM+CN=2AB \\  & \Leftrightarrow -BM+CN\,\,\,\,\,\,=0 \\  & \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,BM\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=CN \\ \end{align}\)

Vậy BM = CN (đpcm).

b) Gọi\(I=MN\cap BC\) . Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E.

Do ME // NC (cách vẽ) nên ta có:

\(\widehat{CNI}=\widehat{IME}\)(hai góc so le trong),  \(\widehat{MEI}=\widehat{NCI}\)(hai góc so le trong)

Ta có: \(ME//AC\Rightarrow \widehat{MEB}=\widehat{ACB}\) (hai góc đồng vị)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{BAC}\) (tam giác ABC cân tại A) \(\Rightarrow \widehat{MEB}=\widehat{MBE}\ \left( =\widehat{ACB} \right)\Rightarrow \Delta MBE\) cân tại M\(\Rightarrow ME=BN\)

\(\Rightarrow ME=CN=BN.\)

Xét \(\Delta MEI\) và \(\Delta NCI\) có:

\(\widehat{CNI}=\widehat{IME}\)(hai góc so le trong),

\(\widehat{MEI}=\widehat{NCI}\)(hai góc so le trong)

\(EM=CN\ \ \left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow \Delta MEI=\Delta NCI\) (góc - cạnh –góc), suy ra MI = NI (hai cạnh tương ứng).

Hay I là trung điểm của MN.

c)  Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta ACK\) có:

AB = AC (gt),

\(\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\)(do AK là tia phân giác của\(\widehat{BAC}\),

AK là cạnh chung,

\(\Rightarrow \Delta ABK=\Delta ACK\)(cạnh – góc – cạnh).

\(\Rightarrow KB=KC\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat{ABK}=\widehat{ACK}\) (hai góc tương ứng).

Xét \(\Delta BKM\text{ }\) và \(\Delta CKN\) có:

MB = CN (cmt),

BK = KC (cmt),

MK = KN (K nằm trên đường trung trực của MN)

\(\Rightarrow \Delta BKM=\Delta CKN\)( cạnh – cạnh – cạnh), suy ra \(\widehat{MBK}=\widehat{NCK}\)(hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat{MBK}=\widehat{ACK}\ \ \left( cmt \right)\) \(\Rightarrow \widehat{ACK}=\widehat{KCN}\).

Mặt khác \(\widehat{ACK}+\widehat{KCN}=180{}^\circ \)(hai góc kề bù)

\(\Rightarrow \widehat{ACK}=\widehat{KCN}={{180}^{0}}:2={{90}^{0}}\)

\(\Rightarrow KC\bot AN\)(đpcm)