Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng phương pháp tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng – hệ thức lượng trong tam giác vuông để giải quyết yêu cầu của bài toán

Giải chi tiết:

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (ABCD) là HD.

Do đó \(\widehat {\left( {SD,\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SD,HD} \right)} = \widehat {SDH}.\)

●  Tính được

\(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\frac{{AC}}{4}} \right)}^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {{\left( {\frac{{4a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}  = a\sqrt 2 .\)

●  Trong tam giác ADH, có

\(\begin{array}{l}
DH = \sqrt {A{H^2} + A{D^2} - 2AH.AD.\cos {{45}^0}} \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {\frac{{4a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2} + 16{a^2} - 2\frac{{4a\sqrt 2 }}{4}.4a.\frac{1}{{\sqrt 2 }}} = a\sqrt {10} .
\end{array}\)

Tam giác vuông \(SHD\), có \(\tan \widehat {SDH} = \frac{{SH}}{{HD}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\)

Chọn C.