a) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si.

+) Công thức bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC:\;\;r = \frac{{2S}}{{AB + BC + CA}}.\)

Giải chi tiết:

a) Trước hết ta có BĐT quen thuộc sau với \(a,\;b,\;c > 0\)  thì :

               \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}.\)

Thật vậy :

                    \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}} \Leftrightarrow (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có :

                 \(\left\{ \begin{array}{l}a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\\\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}}\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow (a + b + c)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.\sqrt[3]{{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}} = 9.\)

Dấu « = » xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c.\)

Áp dụng ta có :

\(\begin{array}{l}\frac{{{a^2} + 6a + 3}}{{{a^2} + a}} = \frac{{({a^2} + a) + 3(a + 1) + 2a}}{{{a^2} + a}} = 1 + \frac{3}{a} + \frac{2}{{a + 1}}\\ \Rightarrow M = 3 + 3\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) + 2\left( {\frac{1}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}} + \frac{1}{{c + 1}}} \right)\\ \Rightarrow M \ge 3 + \frac{{27}}{{a + b + c}} + \frac{{18}}{{a + b + c + 3}} \ge 15.\end{array}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 15, đạt tại chẳng hạn \(a = b = c = 1.\)

b) Giả sử tam giác đã cho là ABC vuông tại A, như vậy ta có :

  \(BC = \overline {ab} ;\;AB = \overline {ba} ;\;AC = \overline {cd} \;\;(0 < b < a \le 9;\;1 \le c \le a;\;0 \le d \le 9)\)

Theo định lý Pi-ta-go ta có :

   \(\begin{array}{l}{\overline {ab} ^2} = {\overline {cd} ^2} + {\overline {ba} ^2} \Leftrightarrow {\overline {cd} ^2} = {\overline {ab} ^2} - {\overline {ba} ^2}\\ \Rightarrow {\overline {cd} ^2} = 99({a^2} - {b^2}) \Rightarrow {\overline {cd} ^2} \vdots 33 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\overline {cd} ^2} \vdots 3\\{\overline {cd} ^2} \vdots 11\end{array} \right.\\ \Rightarrow \overline {cd}  \in {\rm{\{ }}33;\;66;\;99\} .\end{array}\)

TH1:

\(\overline {cd}  = 99 \Rightarrow 99 = \overline {cd}  < \overline {ab}  \le 99\)

. Mâu thuẫn.

TH2:

  \(\overline {cd}  = 66 \Rightarrow 99(a - b)(a + b) = {66^2} \Leftrightarrow (a - b)(a + b) = 44.\)

Do  

                                                                    \(a - b,\;\;a + b\)

 cùng tính chẵn lẻ và

                                                                   \(0 < a + b \le 18\)

 nên không có a, b thỏa mãn đề bài.

\(\begin{array}{*{20}{l}}{TH3:\;\;\overline {cd}  = 33 \Rightarrow {{33}^2} = 99(a - b)(a + b) \Rightarrow (a - b)(a + b) = 11}\\{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - b = 1}\\{a + b = 11}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6\;\;\;\left( {tm} \right)}\\{b = 5\;\;\;\;\left( {tm} \right)}\end{array}} \right..}\end{array}\)

Ta có:

        \(AB = 56;\;AC = 33;\;BC = 65 \Rightarrow r = \frac{{2S}}{{AB + BC + CA}}\)

\( \Leftrightarrow r = \frac{{2.\frac{1}{2}AB.AC}}{{AB + AC + BC}} = \frac{{33.56}}{{33 + 56 + 65}} = 12.\)

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đã cho là 12.

Chọn A