Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Suy ra các số hạng từ \({u_1}\) đến \({u_n}\) và tính tổng

Giải chi tiết:

Dễ dàng chỉ ra được \({u_n} \ge 0\,\,\forall n \ge 1\)

Từ hệ thức truy hồi của dãy số ta có

\(\eqalign{  & {1 \over {{u_{n + 1}}}} = {{2\left( {n + 1} \right){u_n} + 1} \over {{u_n}}} = {1 \over {{u_n}}} + 2n + 2  \cr   &  \Rightarrow {1 \over {{u_n}}} = {1 \over {{u_{n - 1}}}} + 2\left( {n - 1} \right) + 2 = {1 \over {{u_{n - 2}}}} + 2\left( {n - 1} \right) + 2 + 2\left( {n - 2} \right) + 2 = ... = {1 \over {{u_1}}} +  + 2\left( {1 + 2 + ... + n - 1} \right) + 2\left( {n - 1} \right)  \cr   &  = 2 + 2{{n\left( {n - 1} \right)} \over 2} + 2n - 2 = {n^2} + n  \cr   &  \Rightarrow {u_n} = {1 \over {{n^2} + n}} = {1 \over {n\left( {n + 1} \right)}} = {1 \over n} - {1 \over {n + 1}}  \cr   &  \Rightarrow {S_n} = {1 \over 1} - {1 \over 2} + {1 \over 2} - {1 \over 3} + ... + {1 \over n} - {1 \over {n + 1}} = 1 - {1 \over {n + 1}} = {n \over {n + 1}} < {{2017} \over {2018}}  \cr   &  \Rightarrow 2018n < 2017n + 2017 \Leftrightarrow n < 2017. \cr} \)

Suy ra số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là n = 2016.

Chọn C.