Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Giải chi tiết:

Gọi \(O\) là tâm của đáy, suy ra \(SO\bot \left( ABCD \right)\).

Ta có

\(\begin{array}{l}AO \cap \left( {SCD} \right) = C \Rightarrow \frac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{OC}} = 2\\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right).\end{array}\)

Gọi \(J\) là trung điểm \(CD\), suy ra \(OJ\bot CD\).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) trên \(SJ\), suy ra \(OK\bot SJ\,\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OJ\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOJ} \right) \Rightarrow CD \bot OK\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow OK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( O;\left( SCD \right) \right)=OK\frac{SO.OJ}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{J}^{2}}}}\)

Ta có : \(SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{14}}{2}\Rightarrow OK=\frac{\frac{a\sqrt{14}}{2}.\frac{a}{2}}{\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{14}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{30}}\) 

Vậy \(d\left( A;\left( SCD \right) \right)=2.OK=\frac{2a\sqrt{7}}{\sqrt{30}}.\)

Chọn B.