Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}mx...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Tính các định thức : D, D_x, D_y

+ Xét điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là D ≠ 0\(\rightarrow x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}\)

+ Giải hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y < 0\end{array} \right.\) ta tìm được m

Giải chi tiết:

Ta có : \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{m + 2}\\1&m\end{array}} \right| = {m^2} - m - 2\)\({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{m + 2}\\{2m + 3}&m\end{array}} \right| = 5m - \left( {m + 2} \right)\left( {2m + 3} \right) =  - 2{m^2} - 2m - 6\)\({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&5\\1&{2m + 3}\end{array}} \right| = 2{m^2} + 3m - 5\)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì D ≠ 0 \( \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\m \ne 2\end{array} \right.\)

Khi đó: \(x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{ - 2\left( {{m^2} + m + 3} \right)}}{{{m^2} - m - 2}};y = \frac{{{D_y}}}{D} = \frac{{2{m^2} + 3m - 5}}{{{m^2} - m - 2}}\)

Để hệ phương trình có nghiệm âm thì: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 2\left( {{m^2} + m + 3} \right)}}{{{m^2} - m - 2}} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{{2{m^2} + 3m - 5}}{{{m^2} - m - 2}} < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)\((1) \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + m + 3}}{{{m^2} - m - 2}} > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 > 0\) (Vì \({m^2} + m + 3 = {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} > 0,\forall m) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 2\end{array} \right.\,\,\,\,\left( * \right)\)    \((2) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} + 3m - 5 > 0\\{m^2} - m - 2 < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2{m^2} + 3m - 5 < 0\\{m^2} - m - 2 > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m <  - \frac{5}{2}\\m > 1\end{array} \right.\\ - 1 < m < 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - \frac{5}{2} < m < 1\\\left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 2\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < m < 2\\ - \frac{5}{2} < m <  - 1\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( {**} \right)\)

Từ (*) và (**) suy ra \( - \frac{5}{2} < m <  - 1\)

Chọn D.