Lập phương trình cạnh BC của hình vuông ABCD biết...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Viết phương trình AC đi qua A và vuông góc với BD.

+) Tìm tọa độ tâm I của hình vuông ABCD, tìm tọa độ điểm C.

+) Tham số hóa tọa độ điểm \(B\left( {b;7b + 8} \right)\), sử dụng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB}  = 0 \Rightarrow \) giá trị của b.

+) Viết phương trình đường thẳng BC đi qua B và nhận \(\overrightarrow {BC} \) là 1 VTCP.

Giải chi tiết:

Ta thấy A không thuộc đường chéo có phương trình \(7x - y + 8 = 0\) nên pt đường chéo BD: \(7x - y + 8 = 0\)

\(AC \bot BD \Rightarrow pt\left( {AC} \right)\) có dạng \(x + 7y + c = 0\)

\(A \in AC \Rightarrow  - 4 + 7.5 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 31 \Rightarrow pt\left( {AC} \right):x + 7y - 31 = 0\)

Gọi \(I = AC \cap BD \Rightarrow \) Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}7x - y + 8 = 0\\x + 7y - 31 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2}\\y = \frac{9}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 2{x_I} - {x_A} = 3\\{y_C} = 2{y_I} - {y_A} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow C\left( {3;4} \right)\)

\(B \in BD \Rightarrow B\left( {b;7b + 8} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {b + 4;7b + 3} \right),\overrightarrow {CB}  = \left( {b - 3;7b + 4} \right)\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {CB}  \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CB}  = 0 \Leftrightarrow \left( {b + 4} \right)\left( {b - 3} \right) + \left( {7b + 3} \right)\left( {7b + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {b^2} + b - 12 + 49{b^2} + 49b + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 1\\b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B\left( { - 1;1} \right)\\B\left( {0;8} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(B\left( { - 1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CB}  = \left( { - 4; - 3} \right) \Rightarrow \) BC đi qua B(-1;1) và nhận \(\overrightarrow n \left( {3; - 4} \right)\) là 1 VTPT

\( \Rightarrow pt\left( {BC} \right):3\left( {x + 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 7 = 0\)

TH2: \(B\left( {0;8} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {CB}  = \left( { - 3;4} \right) \Rightarrow BC\) đi qua B(0;8) và nhận \(\overrightarrow n \left( {4;3} \right)\) là 1 VTPT

\( \Rightarrow pt\left( {BC} \right):4\left( {x - 0} \right) + 3\left( {y - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 24 = 0\)

Chọn D.