Số nghiệm vô tỷ của phương trình \(\sqrt[3]{{3 - x...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Phương trình có dạng: \(\sqrt[3]{{f(x)}} + \sqrt {g(x)} = c\), điều kiện \(g(x) \ge 0\)

+ Đặt \(\sqrt[3]{{f(x)}} = u;\,\,\sqrt {g(x)} = v \Rightarrow \) Hệ phương trình chứa u và v.

Giải chi tiết:

Điều kiện: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)

Đặt \(\sqrt[3]{{3 - x}} = u\), \(\sqrt {x - 1} = v\) ta được hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{u^3} + {v^2} = 2\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ (1) ta có v = 2 – u. Thay vào (2) ta được: \({u^3} + {\left( {2 - u} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {u^3} + {u^2} - 4u + 4 = 2\)\( \Leftrightarrow {u^3} + {u^2} - 4u + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {u - 1} \right)\left( {{u^2} + 2u - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 1\\u = - 1 - \sqrt 3 \\u = - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\)

+) Với \(u = 1 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{3 - x}} = 1 \Leftrightarrow 3 - x = 1 \Leftrightarrow x = 2 \in Q\)

+) Với \(u = - 1 - \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{3 - x}} = - 1 - \sqrt 3 \Leftrightarrow 3 - x = {\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)^3} \Leftrightarrow x = 3 + {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^3} \notin Q\)

+) Với \(u = - 1 + \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{3 - x}} = - 1 + \sqrt 3 \Leftrightarrow 3 - x = {\left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)^3} \Leftrightarrow x = 3 + {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^3} \notin Q\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm vô tỷ

Chọn D.