Cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\). Xác định tính đ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương, kết hợp với suy luận.

Giải chi tiết:

Xuất phát từ bất đẳng thức luôn đúng \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0\). Biến đổi tương đương ta có:

\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0\)

Theo giả thiết \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) suy ra ta có \(1 + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0 \Leftrightarrow ab + bc + ca \ge  - {1 \over 2}\).

Suy ra II đúng.

Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng

\(\eqalign{  & {\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab  \cr   & {\left( {b - c} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {b^2} + {c^2} \ge 2bc  \cr   & {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {c^2} + {a^2} \ge 2ca \cr} \)

Cộng vế vế với các bất đẳng thức ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)

Theo giả thiết \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 1\) suy ra ta có \(1 \ge ab + bc + ca\).

Suy ra IV đúng.

Chọn B.