Xét hàm số \(f\left( x \right)=\sqrt[3]{\cos 2x}\)...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét tính đúng sai của từng đáp án, sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp \(\left( {{u}^{n}} \right)'=n{{u}^{n-1}}.u'\)

Giải chi tiết:

Đáp án A đúng vì \(f\left( \frac{\pi }{2} \right)=\sqrt[3]{\cos \pi }=-1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) = {\left( {\cos 2x} \right)^{\frac{1}{3}}}\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{1}{3}{\left( {\cos 2x} \right)^{\frac{1}{3} - 1}}.\left( {\cos 2x} \right)' = \frac{1}{3}{\left( {\cos 2x} \right)^{ - \frac{2}{3}}}.\left( { - \sin 2x} \right).\left( {2x} \right)' = \frac{{ - 2}}{3}.\frac{{\sin 2x}}{{\sqrt[3]{{{{\cos }^2}2x}}}}\end{array}\)

\(\Rightarrow \) Đáp án B đúng.

\(\Rightarrow f'\left( \frac{\pi }{2} \right)=\frac{-2}{3}.\frac{\sin \pi }{\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}\pi }}=0\Rightarrow \)  Đáp án C sai.

Ta có thể thử nốt đáp án D :

\(3{{f}^{2}}\left( x \right)f'\left( x \right)+2\sin 2x=3\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}2x}.\frac{-2}{3}.\frac{\sin 2x}{\sqrt[3]{{{\cos }^{2}}2x}}+2\sin 2x=-2\sin 2x+2\sin 2x=0\Rightarrow \) D đúng.

Chọn C.