Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trì...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giá sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt, sử dụng định lí Vi-et và tính chất của cấp số cộng để tìm ra một trong ba nghiệm đó.

Thử lại và kết luận.

Giải chi tiết:

Cách 1: Giải bài toán bằng cách tự luận: 

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số cộng. Theo định lí Vi-et ta có  \({x_1} + {x_2} + {x_3} =  - \frac{b}{a} = 3m\)

Vì \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số cộng nên \({x_1} + {x_3} = 2{x_2} \Rightarrow {x_1} + {x_2} + {x_3} = 3{x_2} = 3m \Leftrightarrow {x_2} = m\)

Thay x₂= m vào phương trình ban đầu ta được  \({m^3} - 3{m^3} + 2{m^2}\left( {m - 4} \right) + 9{m^2} - m = {m^2} - m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\)

Thử lại: 

Khi m = 0, phương trình trở thành \({x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\), phương trình có nghiệm duy nhất (loại)

Khi m = 1, phương trình trở thành \({x^3} - 3{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\\x = 4\end{array} \right.\). Dễ thấy -2, 1, 4 lập thành 1 cấp số cộng có công sai d = 3.

Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2: Giải bài toán bằng cách trắc nghiệm.

Thử lần lượt từng đáp án. Trước hết ta thử đáp án A và D vì m nguyên.

Khi m = 0 ta có phương trình \({x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\), phương trình có nghiệm duy nhất (loại)

Khi m = 1 phương trình trở thành \({x^3} - 3{x^2} - 6x + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\\x = 4\end{array} \right.\). Dễ thấy -2, 1, 4 lập thành 1 cấp số cộng có công sai d = 3. Vậy m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.