Cho tam giác ABC vuông tại A có BD là phân giác, k...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Áp dụng tính chất hai tam giác bằng nhau, tính chất tia phân giác.

+) Áp dụng mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.    

Giải chi tiết:

a)     DE vuông góc với BC nên ta có tam giác BDE là tam giác vuông.

Xét hai tam giác vuông BAD và BED ta có:

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\) (do BD là tia phân giác của góc B)

BD là cạnh chung

Vậy \(\Delta BAD=\Delta BED\)(cạnh huyền – góc nhọn).

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & AB=BE \\ & AD=DE \\ \end{align} \right.\)  (các cặp cạnh tương ứng).

\(\Rightarrow B;\ D\) nằm trên đường trung trực của AE hay BD là đường trung trực của AE.

b)     Xét hai tam giác vuông ADF và EDC ta có:

AF = EC (gt)                           DA = DE (cmt)

Vậy \(\Delta ADF=\Delta EDC\) (hai cạnh góc vuông bằng nhau).

Suy ra DF = DC (hai cạnh tương ứng).

c)     Trong tam giác vuông ADF, AD là cạnh góc vuông, DF là cạnh huyền nên \(DA<DF.\) 

Mà \(DF = DC\) (cmt). Từ đó suy ra \(AD<DC.\)

d)     Theo chứng mình trên ta có \(\Delta ADF=\Delta EDC\). Do đó \(\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\).

Mà \(\widehat{ADE}+\widehat{EDC}={{180}^{o}}\)(2 góc kề bù). Suy ra \(\widehat{FDA}+\widehat{ADE}={{180}^{o}}\).

Vậy ba điểm E, D, F thẳng hàng.