Tập nghiệm của phương trình \({z^4} - {z^3} + \dfr...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

\({z^4} - {z^3} + \dfrac{{{z^2}}}{2} + z + 1 = 0\)            (1)

+) Với  \(z = 0\)  thì  \(1 = 0\)  ( vô lí) \( \Rightarrow z = 0\)  không là nghiệm của phương trình (1)

+) Với \(z \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình (1) cho \({z^2}\) , ta được:

\(\left( {{z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}}} \right) - \left( {z - \dfrac{1}{z}} \right) + \dfrac{1}{2} = 0{\text{          }}(2)\)

Đặt \(t = z - \dfrac{1}{z}\) khi đó: \({t^2} = {z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}} - 2 \Leftrightarrow {z^2} + \dfrac{1}{{{z^2}}} = {t^2} + 2\)

Phương trình (2) có dạng: \({t^2} - t + \dfrac{5}{2} = 0\)(3)

Ta có: \(\Delta  = 1 - 4.\dfrac{5}{2} =  - 9 = 9{i^2} \Rightarrow t = \dfrac{{1 + 3i}}{2};t = \dfrac{{1 - 3i}}{2}\)

+) Nếu \(t = \dfrac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow z - \dfrac{1}{z} = \dfrac{{1 + 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 + 3i)z - 2 = 0\)

Có \(\Delta  = {(1 + 3i)^2} + 16 = 8 + 6i = {(3 + i)^2} \Rightarrow {z_1} = 1 + i;{z_2} =  - \dfrac{1}{2} + \dfrac{i}{2}\)

+) Nếu \(t = \dfrac{{1 - 3i}}{2} \Leftrightarrow z - \dfrac{1}{z} = \dfrac{{1 - 3i}}{2} \Leftrightarrow 2{z^2} - (1 - 3i)z - 2 = 0\)

Có \(\Delta  = {(1 - 3i)^2} + 16 = 8 - 6i = {(3 - i)^2} \Rightarrow {z_3} = 1 - i;{z_4} =  - \dfrac{1}{2} - \dfrac{i}{2}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(\left\{ {1 + i;1 - i; - \dfrac{1}{2} + \dfrac{i}{2}; - \dfrac{1}{2} - \dfrac{i}{2}} \right\}\)

Chọn A