Cho số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x;y \in R} \ri...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Thay \(z = x + yi\), nhân liên hợp, xác định phần thực và phần ảo của số phức \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\).

\(\frac{{z + i}}{{z - i}}\) là một số thực âm khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{z + i}}{{z - i}}} \right) < 0\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {\frac{{z + i}}{{z - i}}} \right) = 0\end{array} \right.\).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\dfrac{{z + i}}{{z - i}} = \dfrac{{x + yi + i}}{{x + yi - i}} = \dfrac{{x + \left( {y + 1} \right)i}}{{x + \left( {y - 1} \right)i}}\\ = \dfrac{{\left[ {x + \left( {y + 1} \right)i} \right]\left[ {x - \left( {y - 1} \right)i} \right]}}{{\left[ {x + \left( {y - 1} \right)i} \right]\left[ {x - \left( {y - 1} \right)i} \right]}}\\ = \dfrac{{{x^2} - x\left( {y - 1} \right)i + x\left( {y + 1} \right)i + \left( {y + 1} \right)\left( {y - 1} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1 + \left( { - xy + x + xy + x} \right)i}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{2xi}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\end{array}\)

Để \(\dfrac{{z + i}}{{z - i}}\) là một số thực âm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 1 < 0\\2x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\{y^2} < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\ - 1 < y < 1\end{array} \right.\)

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn của z sao cho \(\dfrac{{z + i}}{{z - i}}\) là một số thực âm là các điểm trên trục tung với \( - 1 < y < 1\)

Chọn A.