Cho điểm \(A\left( {2;5;1} \right)\) và mặt phẳng...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định bán kính mặt cầu.

+) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P), xác định tọa độ điểm \(H = d \cap \left( P \right)\).

+) Tham số hóa tọa độ tâm I của mặt cầu thuộc đường thẳng d.

+) \(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại \(H \Rightarrow IH = R = 14\)

+) Dựa vào giả thiết điểm \(A\) nằm trong mặt cầu để loại nghiệm.

Giải chi tiết:

Gọi \(R\) là bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) ta có \(4\pi {R^2} = 784\pi  \Leftrightarrow R = 14\).

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua A và vuông góc với \(\left( P \right)\) ta có : \(d:\,\,\frac{{x - 2}}{6} = \frac{{y - 5}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\).

\(H \in d \Rightarrow H\left( {6t + 2;3t + 5; - 2t + 1} \right)\).

\(H \in \left( P \right) \Rightarrow 6\left( {6t + 2} \right) + 3\left( {3t + 5} \right) - 2\left( { - 2t + 1} \right) + 24 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \Rightarrow H\left( { - 4;2;3} \right)\).

Gọi I là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\). Dễ thấy \(I \in d \Rightarrow I\left( {6t' + 2;3t' + 5; - 2t' + 1} \right)\)

\(\left( S \right)\) tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại \(H \Rightarrow IH = R = 14\)

\( \Rightarrow {\left( {6t' + 6} \right)^2} + {\left( {3t' + 3} \right)^2} + {\left( { - 2t' - 2} \right)^2} = {14^2} \Leftrightarrow {\left( {t' + 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t' = 1\\t' =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}I\left( {8;8; - 1} \right)\\I\left( { - 16; - 4;7} \right)\end{array} \right.\)

Vì A nằm trong mặt cầu \(\left( S \right) \Rightarrow IA < R\).

Với \(I\left( {8;8; - 1} \right) \Rightarrow IA = 7 < R;\) với \(I\left( { - 16; - 4;7} \right) \Rightarrow IA = 21 > R\).

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là \({\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y - 8} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 196\)

Chọn C.