Biết \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{6{{x}^{2}}+5x+...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(\frac{x}{6{{x}^{2}}+5x+1}=\frac{x}{\left( 3x+1 \right)\left( 2x+1 \right)}=\frac{A}{3x+1}+\frac{B}{2x+1}\) , đồng nhất hệ số tìm A và B.

Sử dụng công thức \(\int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\frac{x}{{6{x^2} + 5x + 1}} = \frac{x}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} = \frac{A}{{3x + 1}} + \frac{B}{{2x + 1}} = \frac{{2Ax + A + 3Bx + B}}{{\left( {3x + 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2A + 3B = 1\\A + B = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A =  - 1\\B = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \frac{x}{{6{x^2} + 5x + 1}} = \frac{{ - 1}}{{3x + 1}} + \frac{1}{{2x + 1}}\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{x}{{6{x^2} + 5x + 1}}dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {\frac{{ - 1}}{{3x + 1}} + \frac{1}{{2x + 1}}} \right)dx}  = \left. {\left( { - \frac{1}{3}\ln \left| {3x + 1} \right| + \frac{1}{2}\ln \left| {2x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\ =  - \frac{1}{3}\ln 4 + \frac{1}{2}\ln 3 + \frac{1}{3}\ln 1 - \frac{1}{2}\ln 1\\ =  - \frac{1}{6}\ln 16 + \frac{1}{6}\ln 27 = \frac{1}{6}\ln \frac{{27}}{{16}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 27\\n = 16\end{array} \right. \Rightarrow m - n = 11\end{array}\)

Chọn C.