Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp hàm số để chứng minh hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn chứa cận tích phân, từ đó phá dấu trị tuyệt đối và sử dụng các phương pháp tính tích phân để tìm các tham số a, b, c …

Giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \tan x + \sin x - 2x\) trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right],\) có \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \cos x - 2.\)

Với \(x \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} > \dfrac{1}{{\cos x}} \Rightarrow f'\left( x \right) > \dfrac{1}{{\cos x}} + \cos x - 2 = {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {\cos x} }} - \sqrt {\cos x} } \right)^2} \ge 0.\)

Suy ra \(f\left( x \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{4}} \right] \Rightarrow f\left( x \right) \ge f\left( 0 \right) = 0.\)

Khi đó \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left| {\tan x + \sin x - 2x} \right|{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {\tan x + \sin x - 2x} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {\sin x - 2x} \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}{\rm{d}}x} \)

\( = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\left( {\sin x - 2x} \right){\rm{d}}x}  - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{{\rm{d}}\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}}  = \left. {\left( { - \,\cos x - {x^2} - \ln \left| {\cos x} \right|} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} =  - \dfrac{{{\pi ^2}}}{{16}} + \dfrac{1}{2}.\ln 2 + 1 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\)

Mặt khác \(I = a.{\pi ^2} + b.\ln 2 + c \Rightarrow a =  - \dfrac{1}{{16}};\,\,b = \dfrac{1}{2};\,\,c = 1 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}.\)

Vậy \(P = a + b + c \in \left( {\dfrac{1}{2};1} \right).\)

Chọn B