Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R v...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức vi phân \(du = u'dx\) , áp dụng ta có: \(f\left( {1 - x} \right)dx =  - f\left( {1 - x} \right)d\left( {1 - x} \right);\,\,xf\left( {{x^2}} \right)dx = {1 \over 2}f\left( {{x^2}} \right)d\left( {{x^2}} \right)\), lưu ý rằng \(f\left( x \right)dx = f\left( u \right)dx = f\left( v \right)dv = ...\)  và đổi cận.

Giải chi tiết:

Dựa vào các đáp án, ta thấy rằng

\(\int\limits_0^1 {{x^2}.f\left( {{x^3}} \right)dx}  = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( {{x^3}} \right)d\left( {{x^3}} \right)}  = \frac{1}{3}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = \frac{2}{3}\)

\(\int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)\,{\rm{d}}x}  =  - \int\limits_1^0 {f\left( {1 - x} \right)\,{\rm{d}}\left( {1 - x} \right)}  =  \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  =  2.\)

\(\int\limits_0^1 {x.f\left( {{x^2}} \right){\rm{d}}x}  = {1 \over 2}.\int\limits_0^1 {f\left( {{x^2}} \right){\rm{d}}\left( {{x^2}} \right)}  = {1 \over 2}.\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 1\).

Chọn D.