Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng tam giác đồng dạng, định lý Ceva, định lý Menelaus.

Giải chi tiết:

Gọi \(D,\,\,K,\,\,G\) lần lượt là giao điểm của \(CO\) và \(AB,\,\,BO\) và \(AC,\,\,EB\) và \(GC.\)

Đặt \(BC = a,\,\,AC = b,\,\,AB = c.\) Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ABC \sim \Delta HAC\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HA}} = \dfrac{{AC}}{{HC}} \Rightarrow AB.HC = AC.HA\,\,\,\left( 1 \right)\\\Delta ABC \sim \Delta HBA\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{HA}} = \dfrac{{AB}}{{HB}} \Rightarrow AC.HB = AB.HA\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Mặt khác theo định lý Ceva trong tam giác \(\Delta ABC\) ta có

\(\dfrac{{BD}}{{DA}}.\dfrac{{AK}}{{KC}}.\dfrac{{CH}}{{HB}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DA}}.\dfrac{{AB}}{{CG}}.\dfrac{{AH}}{{HB}} = 1\) (vì \(\dfrac{{AK}}{{KC}} = \dfrac{{AB}}{{CG}}\) do \(AB//CG\))

\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DA}}.\dfrac{{AB.CH}}{{AC.HB}} = 1\) (vì \(CG = AC\))

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) ta có

\(\dfrac{{BD}}{{DA}}.\dfrac{{AC.HA}}{{AB.HA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DA}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DA + BD}} = \dfrac{{AB}}{{AC + AB}}\)  hay \(\dfrac{{BD}}{c} = \dfrac{c}{{b + c}}\,\,\left( 3 \right)\)

Mà \(\dfrac{{BO}}{{OG}}.\dfrac{{GC}}{{CM}}.\dfrac{{ME}}{{EB}} = \dfrac{{BD}}{{CG}}.\dfrac{{GC}}{{AB}}.\dfrac{{AC + AB}}{{AB}} = \dfrac{{BD}}{{GC}}.\dfrac{{GC}}{c}.\dfrac{{b + c}}{c}\)

Kết hớp với \(\left( 3 \right)\) ta được: \(\dfrac{{BO}}{{OG}}.\dfrac{{GC}}{{CM}}.\dfrac{{ME}}{{EB}} = \dfrac{{BD\left( {b + c} \right)}}{{{c^2}}} = \dfrac{c}{{b + c}}.\dfrac{{b + c}}{c} = 1\) \( \Rightarrow C,O,E\) thẳng hàng (định lý Menelaus trong tam giác \(BMG\)).