Chứng minh rằng: \(A = {2222^{5555}} + {5555^{2222...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét số dư của \({2222^{5555}}\) và \({5555^{2222}}\) khi chia cho 7. Sau đó xét tổng các số dư mà bằng 0 thì chia hết.

Giải chi tiết:

Ta có: \(2222 \equiv 3\,\,\,\left( {\bmod 7} \right)\,\,\,\left( 1 \right) \Rightarrow {2222^4} \equiv {3^4}\,\,\left( {\bmod 7} \right) \Rightarrow {2222^4} \equiv 81\,\,\,\left( {\bmod 7} \right)\)

Mà \(81 \equiv 4\,\,\,\left( {\bmod 7} \right) \Rightarrow {2222^4} \equiv 4\,\,\,\left( {\bmod 7} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\)

Nhân vế với vế (1) và (2) ta được \({2222^5} \equiv 3.4\,\,\,\left( {\bmod 7} \right)\)

                                    \( \Rightarrow {2222^5} \equiv 5\,\,\left( {\bmod 7} \right) \Rightarrow {2222^{5555}} \equiv {5^{1111}}\,\,\,\left( {\bmod 7} \right)\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Tương tự: \[{5555^{2222}} \equiv {2^{11111}}\,\,\,\left( {\bmod 7} \right)\,\,\,\left( 4 \right)\]

Cộng vế (3) với (4) ta có: \(A \equiv {2^{1111}} + {5^{1111}}\,\,\,\left( {\bmod 7} \right)\,\,\,\left( 5 \right)\)

Mặt khác: \({2^{1111}} + {5^{1111}} \equiv \left( {2 + 5} \right)\,\,\left( {\bmod 7} \right) \equiv 0\,\,\,\left( {\bmod 7} \right)\)   (Tính chất)  (6)

Từ (5) và (6) ta được \(A \equiv 0\,\,\left( {\bmod 7} \right).\)

Vậy \(A = {2222^{5555}} + {5555^{2222}}\) chia hết cho \(7\).