Cho biểu thức \(K = ab + 4ac - 4bc,\) với \(a,\,\,...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Cho biểu thức \(K = ab + 4ac - 4bc,\) với \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực không âm thỏa mãn \(a + b + 2c = 1.\)

1) Chứng minh \(K \ge  - \frac{1}{2}.\)

Áp dụng bất đẳng thwucs AM – GM ta có: \(4bc \le 2{\left( {\frac{{b + 2c}}{2}} \right)^2} \le 2{\left( {\frac{{a + b + 2c}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}.\) 

\( \Rightarrow K = ab + 4ac - 4bc \ge  - 4bc \ge  - \frac{1}{2}.\)

Dấu ‘‘=’’ xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 2c\\a + b + 2c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{4}\end{array} \right..\)

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(K.\)

Áp dụng bất đẳng thwucs AM – GM ta có: \(a\left( {b + 2c} \right) \le {\left( {\frac{{a + b + 2c}}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\)

\( \Rightarrow K = ab + 4ac - 4bc \le ab + 4ac \le 2ab + 4ac = 2a\left( {b + 2c} \right) \le \frac{1}{2}.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 2c\\a + b + 2c = 1\\bc = 0\\ab = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 0\\c = \frac{1}{4}\end{array} \right..\)

Vậy \(Max\,\,K = \frac{1}{2}\) khi \(\left( {a;\,\,b;\,\,c} \right) = \left( {\frac{1}{2};\,\,0;\,\,\frac{1}{4}} \right).\)

Chọn A.