Cho tam giác nhọn ABC có \(\angle BAC = {60^0}\),...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng địch lý Ddirichle.

Giải chi tiết:

Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác BC, CA, AB.

Do tam giác ABC nhọn nên O nằm trong tam giác ABC

Vì \(\angle BAC = {60^0}\)  nên có \(\angle MOC = {60^0}\).

\( \Rightarrow OA = OB = OC = \dfrac{{MC}}{{\sin {{60}^0}}} = 2\).

Vì O nằm trong tam giác ABC, \(OM \bot BC,\,\,ON \bot AC,\,\,OP \bot AB\).

Suy ra tam giác ABC được chia thành 3 tứ giác ANOP, BMOP, CNOM nội tiếp các đường tròn đường kính.

Theo nguyên lý Đirichlê tồn tại ít nhất 1 trong 3 tứ giác này chứa ít nhất 5 điểm trong 13 điểm đã cho.

Giả sử đó là tứ giác ANOP.

Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểmNA, AP, PO, ON là I là trung điểm của OA.

Suy ra IA = IP = IO = IN = 1.

Khi đó tứ giác ANOP được chưa làm 4 tứ giác AEIF, FIGP, IGOH, IHNE nội tiếp các đường tròn có đường kính 1.

Theo nguyên lý Đirichle, tồn tại ít nhất một trong bốn tứ giác này tồn tại hai điểm trong 5 điểm đã cho, giả sử đó là tứ giác AEIF chứa 2 điểm X, Y trong 13 số điểm đã cho .

Vì X, Y không nằm trong tứ giác AEIF, nên X, Y nằm trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác này, do đó  XY không lớn hơn đường kính đường tròn này, nghĩa là khoảng cách XY không vượt quá 1cm.