Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh a. Gọi...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi Q là trung điểm của CD;  \(E = BM \cap AQ\)

Ta có: \(\Delta ABM = \Delta DAQ\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {DAQ}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ABM} + \widehat {AMB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DAQ} + \widehat {AMB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {AEM} = {90^0} \Rightarrow AQ \bot BM\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}BM \bot AQ\\BM \bot AA'\,\,\left( {AA' \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow BM \bot \left( {AQNA'} \right)\)

Trong \(\left( {AQNA'} \right)\) kẻ \(EH \bot AN\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(BM \bot \left( {AQNA'} \right) \supset EH \Rightarrow EH \bot BM\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra EH là đoạn vuông góc chung của BM và AN \( \Rightarrow d\left( {BM;AN} \right) = EH\)

Ta có: \(\Delta AHE \sim \Delta AQN\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{HE}}{{QN}} = \frac{{AE}}{{AN}} \Rightarrow HE = \frac{{QN.AE}}{{AN}}\)

Xét tam giác vuông ABM có: \(\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow AE = \frac{a}{{\sqrt 5 }}\)

Xét tam giác vuông AQD có: \(AQ = \sqrt {A{D^2} + D{Q^2}}  = \sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\(QN \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow QN \bot AQ \Rightarrow \Delta AQN\)vuông tại Q

\( \Rightarrow AN = \sqrt {A{Q^2} + Q{N^2}}  = \sqrt {\frac{{5{a^2}}}{4} + {a^2}}  = \frac{{3a}}{2}\)

\( \Rightarrow HE = \frac{{a.\frac{a}{{\sqrt 5 }}}}{{\frac{{3a}}{2}}} = \frac{{2a\sqrt 5 }}{{15}}\)

Vậy \(d\left( {BM;AN} \right) = \frac{{2a\sqrt 5 }}{{15}}\).

Chọn A.