Phương trình \({\tan ^3}x - {\cot ^3}x - 3\left( {...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \tan x - \cot x\)thì \(\left\{ \begin{array}{l}{\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2\\{\tan ^3}x - {\cot ^3}x = {t^3} + 3t\end{array} \right.\).

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \tan x - \cot x\).

Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {t^2} + 2\\{\tan ^3}x - {\cot ^3}x = {\left( {\tan x - \cot x} \right)^3} + 3\tan x\cot x\left( {\tan x - \cot x} \right) = {t^3} + 3t\end{array} \right.\)

Phương trình trở thành \({t^3} + 3t - 3\left( {{t^2} + 2} \right) - 3t + 10 = 0 \Leftrightarrow {t^3} - 3{t^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = 2\end{array} \right.\).

Với \(t =  - 1 \Rightarrow \tan x - \cot x =  - 1 \Leftrightarrow \tan x - \dfrac{1}{{\tan x}} =  - 1 \Leftrightarrow {\tan ^2}x + \tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)

Với \(t = 2 \Rightarrow \tan x - \cot x = 2 \Leftrightarrow \tan x - \dfrac{1}{{\tan x}} = 2 \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 2\tan x - 1 = 0 \Leftrightarrow \tan x = 1 \pm \sqrt 2 \)

Vậy phương trình đã cho có 4 họ nghiệm.

Chọn D