Cho phương trình bậc hai: \({{x}^{2}}-2\left( k-2...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi \(k\Leftrightarrow \Delta '>0\ \forall k.\)

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét và điều kiện bài cho để tìm giá trị của k.

Giải chi tiết:

a)                  \(\Delta '={{\left( k-2 \right)}^{2}}+2k+5={{k}^{2}}-4k+4+2k+5={{k}^{2}}-2k+9={{\left( k-1 \right)}^{2}}+8>0\,\,\,\forall k\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(k\)

b)                  Theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align}  {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\left( k-2 \right) \\  {{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2k-5 \\ \end{align} \right.\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 = 18 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 18 \Leftrightarrow {\left[ {2\left( {k - 2} \right)} \right]^2} - 2\left( { - 2k - 5} \right) = 18\\ \Leftrightarrow 4{k^2} - 16k + 16 + 4k + 10 = 18 \Leftrightarrow 4{k^2} - 12k + 26 = 18 \Leftrightarrow 4{k^2} - 12k + 8 = 0\\ \Leftrightarrow {k^2} - 3k + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {k - 2} \right)\left( {k - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\\k = 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(k=1,k=2\)