Chứng minh rằng: \(\frac{a+b}{\sqrt{a\left( 3a+b \...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm: \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab.\)

Giải chi tiết:

Giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}2\sqrt {a\left( {3a + b} \right)} = \sqrt {4a\left( {3a + b} \right)} \le \frac{{4a + 3a + b}}{2} = \frac{{7a + b}}{2}\\2\sqrt {b\left( {a + 3b} \right)} = \sqrt {4b\left( {a + 3b} \right)} \le \frac{{4b + a + 3b}}{2} = \frac{{a + 7b}}{2}\\ \Rightarrow 2\left[ {\sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {a + 3b} \right)} } \right] \le \frac{{7a + b}}{2} + \frac{{a + 7b}}{2} = 4\left( {a + b} \right)\\ \Rightarrow \frac{1}{{2\left[ {\sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {a + 3b} \right)} } \right]}} \ge \frac{1}{{4\left( {a + b} \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {a + 3b} \right)} }} \ge \frac{1}{{2\left( {a + b} \right)}}\\ \Rightarrow \frac{{a + b}}{{\sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {a + 3b} \right)} }} \ge \frac{{a + b}}{{2\left( {a + b} \right)}}\\ \Rightarrow \frac{{a + b}}{{\sqrt {a\left( {3a + b} \right)} + \sqrt {b\left( {a + 3b} \right)} }} \ge \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)