Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z - 2 - 3i} \...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi dựa trên những tính chất của số phức

Đặt \(a - 2 = \sin t,b - 3 = \cos t\(\( và biểu diễn \(\(\left| {\overline z  + 1 + i} \right|\(\(=\(\(\sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - b} \right)}^2}} \)

Sử dụng bất đẳng thức: \(ab + cd \ge \sqrt {({a^2} + {c^2})({b^2} + {d^2})} \) cho biểu thức \(14 + 6\sin t + 4\cos t\) để tìm GTLN.

Giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi;a,b \in R \Rightarrow \left| {z - 2 - 3i} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 3} \right)i} \right| = 1 \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\)

Đặt \(a - 2 = \sin t,b - 3 = \cos t.\)

Khi đó :\(ab + cd \le \sqrt {({a^2} + {c^2})({b^2} + {d^2})} \)

Ta có: \(\left| {\overline z  + 1 + i} \right| = \left| {\left( {a + 1} \right) + \left( {1 - b} \right)i} \right| = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2}\)

\(\eqalign{  & {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {\left( {\sin t + 3} \right)^2} + {\left( {\cos t + 2} \right)^2} = 14 + 6\sin t + 4\cos t  \cr   &  \le 14 + \sqrt {\left( {{6^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t} \right)}  = 14 + 2\sqrt {13}   \cr   &  \Rightarrow \left| {\overline z  + 1 + i} \right| \le 1 + \sqrt {13}  \cr} \)

Chọn D.