Cho \(\widehat{xOy}\) vuông ở O....

Câu hỏi: Cho \(\widehat{xOy}\) vuông ở O. Hai điểm M, N di động trên Ox, Oy sao cho MN = 2a không đổi. A, B, C lần lượt là trung điểm của OM, MN, ON. Đặt OA = x \(\left( 0<x<2a \right).\) Quay hình chữ nhật ABCO một vòng quanh CO tạo ra hình trụ có diện tích toàn phần là S₂. Quay tam giác vuông NOM một còng quanh ON tạo ra hình nón có diện tích xung quanh là S₁. Tính OM để tỉ số \(\frac{{{S}_{2}}}{{{S}_{1}}}\) là lớn nhất.

A \(\frac{a}{3}\)

B \(\frac{a}{4}\)

C \(a\sqrt{2}\)

D \(a\sqrt{3}\)

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

+) Trong D vuông BAM có:

\(AB=\sqrt{B{{M}^{2}}-A{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}=OC\)

+) Diện tích toàn phần trụ là: \({{S}_{2}}=2\pi x.\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+2\pi {{x}^{2}}\)

+) Diện tích xung quanh hình nón là:

\({{S}_{1}}=\pi .OM.MN=\pi .2x.2a=4x\pi a\)

+) \(\Rightarrow \frac{{{S}_{2}}}{{{S}_{1}}}=\frac{2\pi x.\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}+2\pi {{x}^{2}}}{4x\pi a}=\frac{x+\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}{2a}\)

+) Xét \(f\left( x \right)=x+\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\)

\(\begin{align} & \Rightarrow f'\left( x \right)=\frac{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}-x}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}} \\ & \Rightarrow f'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}-x=0\Leftrightarrow x=\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}\Leftrightarrow x=\frac{a}{\sqrt{2}} \\\end{align}\)

Bảng biến thiên:

Để tỉ số \(\frac{{{S}_{2}}}{{{S}_{1}}}\max \Leftrightarrow f\left( x \right)max\Leftrightarrow x=\frac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow OM=2.\frac{a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}\)

Chọn đáp án C

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Bài tập vận dụng chuyên đề khối tròn xoay

↑