Với

Câu hỏi: Với $| a | > 2$ hãy rút gọn biểu thức $P = \sqrt[3]{\frac{a^{3} - 3 a + (a^{2} - 1) \sqrt{a^{2} - 4}}{2}} + \sqrt[3]{\frac{a^{3} - 3 a - (a^{2} - 1) \sqrt{a^{2} - 4}}{2}}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Đặt $\{\begin{cases} M_{1} = \sqrt[3]{\frac{a^{3} - 3 a + (a^{2} - 1) \sqrt{a^{2} - 4}}{2}} \\ M_{2} = \sqrt[3]{\frac{a^{3} - 3 a - (a^{2} - 1) \sqrt{a^{2} - 4}}{2}} \end{cases} \Rightarrow M_{1} M_{2} = 1$

Khi đó

$\begin{array}{l} P = M_{1} + M_{2} \\ \Leftrightarrow P^{3} = {(M_{1} + M_{2})}^{3} = {M_{1}}^{3} + {M_{2}}^{3} + 3 M_{1} M_{2} (M_{1} + M_{2}) = a^{3} - 3 a + 3 P \\ \Leftrightarrow P^{3} - 3 P - a^{3} + 3 a = 0 \\ \Leftrightarrow (P - a) (P^{2} + a P + a^{2} - 3) = 0 (*) \end{array}$