Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn

- Hướng dẫn giải

Đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}$

Ta được đẳng thức điều kiện là:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a}{abc}\iff bc+ca+ab=1\left(1\right)$

Và khi đó đẳng thức cần chứng minh có dạng:

$\begin{array}{l}\sqrt{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}+\sqrt{\left(1+c^2\right)\left(1+a^2\right)}+\sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\\ =(b+c)\sqrt{1+a^2}+(c+a)\sqrt{1+b^2}+(a+b)\sqrt{1+c^2}\end{array}$

Nhận xét rằng:

$\begin{array}{l}1+a^2=bc+ca+a^2=(a+b)(a+c)\\ 1+b^2=bc+ca+ab+b^2=\left(b+c\right)\left(b+a\right)\\ 1+c^2=bc+ca+ab+c^2=\left(c+b\right)\left(c+a\right)\end{array}$

Từ đó suy ra:

$\begin{array}{l}\sqrt{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}\\ =(b+c)\sqrt{(b+a)(c+a)}\\ =(b+c)\sqrt{1+a^2}\left(2\right)\end{array}$

Tương tự, ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt{\left(1+c^2\right)\left(1+a^2\right)}=(c+a)\sqrt{1+b^2}\left(3\right)\\ \sqrt{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}=(a+b)\sqrt{1+c^2}\left(4\right)\end{array}$

Cộng theo vế (2), (3),(4) ta nhận được đẳng thức cần chứng minh.