Cho hàm số: \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) (C)....

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lập phương trình hoành độ giao điểm (*) của hai đồ thị hàm số.

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số là số nghiệm của phương trình (*).

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \Delta >0.\)

Chú ý tập xác định của các hàm số.

Xác định tọa độ giao điểm \(A(x_1; \, \, y_1)\) và \(B(x_2; \, \, y_2)\) của hai đồ thị hàm số.

Áp dụng hệ thức Vi-et đối với phương trình (*) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)

Gọi \(G(x_G; \, \, y_G)\) là trọng tâm tam giác \(OAB\) từ đó suy ra tọa độ điểm \(G.\)

Điểm \(G\) thuộc đường thẳng \(\Delta\) \(\Rightarrow\) tọa độ điểm \(G\) thỏa mãn phương trình đường thẳng \(\Delta.\)

Từ đó suy ra giá trị \(m\) cần tìm.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ne 1\).

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d là:

\(2x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( { - 3x + m} \right) \Leftrightarrow 3{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m + 1 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) pt (*) có hai nghiệm phân biệt và khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} - 12\left( {m + 1} \right) > 0\\3 - \left( {m + 1} \right) + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 10m - 11 > 0\\3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 11\\m <  - 1\end{array} \right.\)

Gọi \({x_1};\,\,{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*) thì hai giao điểm của d và (C) là: \(A\left( {{x_1}; - 3{x_1} + m} \right)\) và \(B\left( {{x_2}; - 3{x_2} + m} \right)\).

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{m + 1}}{3}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{m + 1}}{3}\end{array} \right.\).

Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{3} = \dfrac{{ - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2m}}{3}\end{array} \right.\)(1)

Áp dụng hệ thức Vi-ét vào hệ thức (1) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{m + 1}}{9}\\{y_G} = \dfrac{{m - 1}}{3}\end{array} \right.\)

Điểm G thuộc đường thẳng \(\Delta :\,\,x - y - 2 = 0\)

\( \Rightarrow \dfrac{{m + 1}}{9} - \dfrac{{m - 1}}{3} - 2 = 0 \Leftrightarrow 2m =  - 14 \Leftrightarrow m =  - 7\left( {tm} \right)\)

Chọn D.