Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Ta có: \(\Delta ADM = \Delta DCN\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {ADM} = \widehat {DCN}\)

Mà \(\widehat {ADM} + \widehat {MDC} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DCN} + \widehat {MDC} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {DEC} = {90^0} \Rightarrow DM \bot CN\)

Trong (SMD) kẻ \(MK \bot SE\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}NC \bot MD\\NC \bot SM\,\,\left( {SM \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow NC \bot \left( {SMD} \right) \Rightarrow NC \bot MK\)

Có: \(\left. \begin{array}{l}MK \bot NC\\MK \bot SE\end{array} \right\} \Rightarrow MK \bot \left( {SNC} \right) \Rightarrow d\left( {M;\left( {SNC} \right)} \right) = MK\)

Ta có: SM là đường trung tuyến của tam giác SAB đều cạnh a nên \(SM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)  

Xét tam giác vuông CDN có:

\(\dfrac{1}{{D{E^2}}} = \dfrac{1}{{D{N^2}}} + \dfrac{1}{{C{D^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{{a^2}}}{4}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow DE = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\)

Xét tam giác vuông ADM có:

\(DM = \sqrt {A{D^2} + A{M^2}}  = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\( \Rightarrow ME = DM - DE = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} - \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5} = \dfrac{{3a\sqrt 5 }}{{10}}\)

\(SM \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot ME\)

Suy ra tam giác SME vuông tại M

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{M{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{M^2}}} + \dfrac{1}{{M{E^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} + \dfrac{{20}}{{9{a^2}}} = \dfrac{{32}}{{9{a^2}}} \Rightarrow MK = \dfrac{{3\sqrt 2 a}}{8}\) 

Chọn D.