Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là tứ giá...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xác định chiều cao, diện tích đáy qua yếu tố chu vi và góc giữa hai mặt phẳng

Giải chi tiết:

Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\). Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\) nên \(SI\bot AB\) và \(SI=\frac{a\sqrt{2}}{2}\).

Mặt khác \(\left( SAB \right)\bot \left( ABCD \right)\) nên \(SI\bot \left( ABCD \right)\). Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \(V=\frac{1}{3}SI.{{S}_{ABCD}}\).

Kẻ \(IH\bot BC\) ta có góc giữa \(\left( SBC \right)\) và \(\left( ABCD \right)\) là \(\widehat{SHI}\). Do các mặt \(\left( SBC \right)\), \(\left( SCD \right)\), \(\left( SDA \right)\) tạo với \(\left( ABCD \right)\) các góc bằng nhau và bằng \(60{}^\circ \) nên các khoảng cách từ \(I\) đến các cạnh \(CD\), \(DA\) bằng nhau và bằng \(IH\). Ta có \(\widehat{SHI}=60{}^\circ \) nên \(IH=SI.\cot 60{}^\circ \)\(=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{\sqrt{3}}\)\(=\frac{a\sqrt{6}}{6}\).

Diện tích \({{S}_{ABCD}}=\)\(\frac{1}{2}\left( BC+CD+DA \right).HI\)\(=\frac{1}{2}\left( 9a-AB \right).\frac{a\sqrt{6}}{6}\)\(=\frac{2{{a}^{2}}\sqrt{6}}{3}\).

Vậy \(V=\frac{1}{3}SI.{{S}_{ABCD}}\)\(=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{2}}{2}\frac{2{{a}^{2}}\sqrt{6}}{3}\)\(=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{9}\).

Chọn A