Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)  cho ba điểm \(A\l...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)      Ta có \(\overrightarrow {AB} \left( { - 9;3} \right),\;\,\,\overrightarrow {AC} \left( { - 5; - 5} \right).\;Do\,\,\,\,\frac{{ - 9}}{{ - 5}} \ne \frac{3}{{ - 5}}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \;,\,\,\,\;\overrightarrow {AC} \) không cùng phương.

Hay \(A,\,\,B,\,\,C\) là ba đỉnh một tam giác.

b)      \(D \in Ox \Rightarrow D\left( {x;\,\,0} \right).\)

Ba điểm \(A,\,\,B,\,\,D\)  thẳng hàng \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \;,\,\,\,\overrightarrow {AD} \) cùng phương.

Mặt khác \(\overrightarrow {AD} \left( {x - 6;\; - 3} \right) \Rightarrow \frac{{x - 6}}{{ - 9}} =  - \frac{3}{3} \Leftrightarrow x = 15 \Rightarrow D\left( {15;\,\,0} \right).\)

c) Vì  \(\left\{ \begin{array}{l}E \in BC\\BE = 2EC\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {BE}  = 2\overrightarrow {EC} .\)

Gọi \(E\left( {x;\,\,y} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BE}  = \left( {x + 3;\,\,y - 6} \right)\\\overrightarrow {EC}  = \left( {1 - x;\, - 2 - y} \right)\end{array} \right..\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = 2\left( {1 - x} \right)\\y - 6 = 2\left( { - 2 - y} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{3}\\y = \frac{2}{3}\end{array} \right. \Rightarrow E\left( { - \frac{1}{3};\,\,\frac{2}{3}} \right).\)

d) Gọi \(I\left( {x;\,\,y} \right)\) là giao điểm của \(DE\) và \(AC\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {DI} \left( {x - 15;y} \right),\;\,\,\,\overrightarrow {DE} \left( { - \frac{{46}}{3};\frac{2}{3}} \right)\) cùng phương \( \Rightarrow \frac{{3\left( {x - 15} \right)}}{{ - 46}} = \frac{{3y}}{2} \Leftrightarrow x + 23y - 15 = 0\,\,\,\;\left( 1 \right)\)

\(\overrightarrow {AI}  = \left( {x - 6;\,\,y - 3} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 5;\, - 5} \right)\) cùng phương \( \Rightarrow \frac{{x - 6}}{{ - 5}} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} \Rightarrow x - y - 3 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x - 6}}{{ - 5}} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} \Leftrightarrow x - y - 3 = 0\,\,\,\;\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow x = \frac{7}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2}.\)

Vậy giao điểm của hai đường thẳng \(DE\) và \(AC\) là \(I\left( {\frac{7}{2};\,\,\frac{1}{2}} \right).\)