Cho hàm số \(y = f(x)\). Đồ thị của hàm số \(y = f...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hình phẳng được giời hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right);\,y = g\left( x \right);\,\,\,x = a;\,\,x = b\) được tính theo công thức: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} .\)  

Giải chi tiết:

\(h\left( x \right) = 2f\left( x \right) - {x^2} \Rightarrow h'\left( x \right) = 2f'\left( x \right) - 2x = 2\left[ {f'\left( x \right) - x} \right]\)

Vẽ đường thẳng y = x cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại A(–2;–2), B(2;2) và C(4;4)

⇒ h’(–2) = h’(2) = h’(4) = 0

Dựa vào vị trí của đồ thị hàm số y = f ‘(x) và y = x ta có f ‘(x) > x ∀x ∈ (–2;2)

⇒ h’(x) > 0 ∀x ∈ (–2;2) ⇒ h(2) > h(–2)

Ta có f ‘(x) < x, ∀x ∈ (2;4) ⇒ h’(x) < 0, ∀x ∈ (2;4) ⇒ h(2) > h(4)

So sánh h(–2) và h(4):

Gọi \({S_1};\,\,{S_2}\) lần lượt là diện tích các hình phẳng như hình vẽ bên.

\(\begin{array}{l}{S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {f'\left( x \right) - x} \right]dx}  = \int\limits_{ - 2}^2 {h'\left( x \right)dx}  = h\left( x \right)\left| {_{ - 2}^2} \right. = h\left( 2 \right) - h\left( { - 2} \right)\\{S_2} = \int\limits_2^4 {\left[ {x - f'\left( x \right)} \right]dx}  =  - \int\limits_2^4 {h'\left( x \right)dx}  =  - h\left( x \right)\left| {_2^4} \right. = h\left( 2 \right) - h\left( 4 \right)\end{array}\)

Ta thấy S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ‘(x), đồ thị hàm số y = x và 2 đường thẳng x = –2, x = 2

S₂ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ‘(x), đồ thị hàm số y = x và 2 đường thẳng x = 2, x = 4

Dựa vào đồ thị, ta thấy S₁ > S₂ ⇒ h(2) – h(–2) > h(2) – h(4) ⇒ h(–2) < h(4)

Vậy h(–2) < h(4) < h(2)

Chọn C.