Cho phương trình: \({x^2} + (2m - 3)x - m + 1 = 0\...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm \(m\) để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) : Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) khi và chỉ khi \(\Delta \left( {\Delta '} \right) > 0\)

 Bước 2: Phân tích biểu thức A về dạng chứa các hệ thức Vi-et sau đó áp dụng Vi-et vào tìm được \(m\) và đối chiếu với điều kiện sau đó kết luận. Hệ thức Viet như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

Cho phương trình: \({x^2} + (2m - 3)x - m + 1 = 0\)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta  = {(2m - 3)^2} + 4(m - 1) = 4{m^2} - 12m + 9 + 4m - 4\\ = 4{m^2} - 8m + 5 = {\left( {2m - 2} \right)^2} + 1 > 0\,\forall m\end{array}\)

Do đó phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: \(({x_1} - 3)({x_2} - 3) = 5.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3 - 2m\\{x_1}{x_2} = 1 - m\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có : \(\left( {{x_1} - 3} \right)\left( {{x_2} - 3} \right) = 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9 = 5\\ \Leftrightarrow 1 - m - 3\left( {3 - 2m} \right) =  - 4\\ \Leftrightarrow 5m = 4 \Leftrightarrow m = \frac{4}{5}.\end{array}\)

Vậy giá trị cần tìm của \(m\) là : \(m = \frac{4}{5}.\)

Chọn B.