Cho đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trì...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Áp dụng điều kiện để hai đường thẳng song song để tìm k. Cho hai đường thẳng \({d_1}:\;\;y = {a_1}x + {b_1}\)  và \({d_2}:\;\;y = {a_2}x + {b_2}.\) Khi đó \({d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} \ne {d_2}\end{array} \right..\)

b) Tìm giao điểm của \(\left( d \right)\) với các trục Ox, Oy, sau đó sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết:

Cho đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình \(y = \left( {2k - 1} \right)x + k - 2\) (với k là tham số)

a) Tìm giá trị của k biết đường thẳng \(\left( d \right)\) song song với đường thẳng \(\left( {d'} \right)\) có phương trình \(y =  - 3x + 5\)

\(\left( d \right)//\left( {d'} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k - 1 =  - 3\\k - 2 \ne 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k =  - 1\\k \ne 7\end{array} \right. \Leftrightarrow k =  - 1\)

Vậy với \(k =  - 1\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Với giá trị của k tìm được ở câu a, vẽ đường thẳng \(\left( d \right)\) trên mặt phẳng tọa độ và tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng \(\left( d \right)\)

Khi \(k =  - 1\) thì \(\left( d \right):y =  - 3x - 3\)

Ta có bảng giá trị:

Vậy đồ thị hàm số \(y =  - 3x - 3\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(\left( {0; - 3} \right),\;\;\left( { - 1;\;0} \right).\)

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của của \(\left( d \right)\) với Ox, Oy

Cho \(x = 0\) ta được \(y =  - 3\) \( \Rightarrow B\left( {0; - 3} \right)\) \( \Rightarrow OB = 3\)

Cho \(y = 0\) ta được \(x =  - 1\) \( \Rightarrow A\left( { - 1;0} \right)\) \( \Rightarrow OA = 1\)

Gọi H là hình chiếu của O trên \(\left( d \right)\), ta có:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{{10}}{9} \Leftrightarrow OH = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\)  (dvđd)

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng \(\left( d \right)\) là \(OH = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\)  (dvđd)