Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(A...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác MNAC nội tiếp.

Do \(\angle ACB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\angle ACB = {90^0} \Rightarrow \angle ACM = {90^0}\).

Xét tứ giác \(MNAC\) có \(\angle ACM + \angle ANM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(MNAC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).’

b) Tính độ dài CH và \(\tan \angle ABC\)

Ta có: \(BH = AB - AH = 6 - 1 = 5\,\,\left( {cm} \right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có: \(A{H^2} = HA.HB = 1.5 = 5 \Rightarrow AH = \sqrt 5 \,\,\left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow \tan \angle ABC = \frac{{HA}}{{HB}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)

c) Chứng minh NC là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\).

Ta có \(MN \bot AB;\,\,CH \bot AB \Rightarrow MN//CH\)

\( \Rightarrow \angle AMN = \angle ADC\) (so le trong)

Mà \(\angle AMN = \angle ACN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN) \( \Rightarrow \angle ACN = \angle ADC\).

Mà \(\angle ADC\) nội tiếp chắn cung AC, \(\angle ACN\) ở vị trí góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung AC.

 \( \Rightarrow CN\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại C.

d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt NC tại E. Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.

Kéo dài AE cắt BM tại F.

Ta có \(EA = EC\,\,\left( 1 \right)\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow \Delta EAC\) cân tại E \( \Rightarrow \angle EAC = \angle ECA\)

\( \Rightarrow {90^0} - \angle EAC = {90^0} - \angle ECA \Leftrightarrow \angle EFC = \angle ECF \Rightarrow \Delta EFC\) cân tại E \( \Rightarrow EC = EF\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow EA = EC = EF\)

Ta có \(AF \bot AB\,\left( {gt} \right);\,\,CH \bot AB\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow AF//CH\)

Gọi \(I = BE \cap AF\), áp dụng định lí Ta-let ta có: \(\frac{{HI}}{{AE}} = \frac{{BI}}{{BE}};\,\,\frac{{CI}}{{EF}} = \frac{{BI}}{{BE}} \Rightarrow \frac{{HI}}{{AE}} = \frac{{CI}}{{EF}}\).

Mà \(AE = EF\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow HI = CI \Rightarrow I\) là trung điểm của HC. (đpcm)