Cho phương trình \({x^3} + 2{y^3} + 4{z^3} = 9!\,\...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Cho phương trình \({x^3} + 2{y^3} + 4{z^3} = 9!\,\,\left( 1 \right)\) với x, y, z là ẩn và 9! là tích các số nguyên dương liên tiếp từ 1 đến 9.

a)      Chứng minh rằng nếu có các số nguyên x, y, z thỏa mãn (1) thì x, y, z đều chia hết cho 4.

Giả sử tồn tại \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn phương trình.

Ta có: \(9! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9\) là số chẵn \( \Rightarrow {x^3}\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow x\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow x = 2m\,\,\left( {m \in Z} \right)\)  

\( \Rightarrow 8{m^3} + 2{y^3} + 4{z^3} = 9! \Leftrightarrow 4{m^3} + {y^3} + 2{z^3} = 1.3.4.5.6.7.8.9\) là số chẵn

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {y^3}\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow y\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow y = 2n\,\,\left( {n \in Z} \right)\\ \Rightarrow 4{m^3} + 8{n^3} + 2{z^3} = 1.3.4.5.6.7.8.9\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 2{m^3} + 4{n^3} + {z^3} = 1.2.3.5.6.7.8.9\) là số chẵn

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {z^3}\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow z\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow z = 2p\,\,\left( {p \in Z} \right)\\ \Rightarrow 2{m^3} + 4{n^3} + 8{p^3} = 1.2.3.5.6.7.8.9\\ \Leftrightarrow {m^3} + 2{n^3} + 4{p^3} = 1.3.5.6.7.8.9\end{array}\)

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta cũng có \(\left\{ \begin{array}{l}m\,\, \vdots \,\,2\\n\,\, \vdots \,\,2\\p\,\, \vdots \,\,2\end{array} \right.\,\,\left( {m;n;p \in Z} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2m\,\, \vdots \,\,4\\y = 2n\,\, \vdots \,\,4\\z = 2p\,\, \vdots \,\,4\end{array} \right.\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

b)     Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn (1).

Theo ý a) ta có thể đặt \(x = 4a;\,\,y = 4b;\,\,z = 4c\,\,\left( {a;b;c \in {Z^ + }} \right)\)

\( \Rightarrow {a^3} + 2{b^3} + 4{c^3} = \frac{{9!}}{{{4^3}}} = \dfrac{{1.2.3.4.5.6.7.8.9}}{{{4^3}}} = 1.3.5.6.7.9\) là số chẵn

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a\,\, \vdots \,\,2 \Rightarrow a = 2u\,\,\left( {u \in Z} \right)\\ \Rightarrow 8{u^3} + 2{b^3} + 4{c^3} = 1.3.5.6.7.9 \Leftrightarrow 4{u^3} + {b^3} + 2{c^3} = 1.3.3.5.7.9 = {1.5.7.3^4}\end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( {{{1.5.7.3}^4}} \right)\,\, \vdots \,\,{3^4} \Rightarrow \left( {{{1.5.7.3}^4}} \right)\,\, \vdots \,\,9\\{x^3} \equiv 0;\,\, \pm 1\,\,\left( {\bmod 9} \right)\,\,\left( {x \in Z} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow a;\,\,b;\,\,c\,\, \vdots \,\,9 \Rightarrow \left( {4{u^3} + {b^3} + 2{c^3}} \right)\,\, \vdots \,\,{9^3}\end{array}\)

Nhưng do \({1.5.7.3^4}\)  không thể chia hết cho \({9^3}\) nên ta có điều vô lý.

Vậy ta có điều phải chứng minh.