1) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Giả sử tồn tại 1 số n thỏa mãn bài toán, ta lập hiệu và dựa vào tính chất chia hết để chứng minh.

2) Chú ý xét hiệu 2 biểu thức để chứng minh nó bằng 0.

Giải chi tiết:

1) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để \({n^2} + 2018\) là số chính phương.

Giả sử tồn tại \(n \in N\) để \({n^2} + 2018\) là số chính phương.

Như vậy ta có: \({n^2} + 2018 = {m^2} \Leftrightarrow \left( {m - n} \right)\left( {m + n} \right) = 2018\)

Vì \(2018\; \vdots \;2 \Rightarrow \left( {m + n} \right)\left( {m - n} \right)\; \vdots \;2 \Rightarrow \;\;\left[ \begin{array}{l}\left( {m + n} \right)\; \vdots \;2\\\left( {m - n} \right)\; \vdots \;2\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {m + n} \right)\; \vdots \;2\\\left( {m - n} \right)\; \vdots \;2\end{array} \right.\end{array} \right.\;\;\) 

Mà \(m + n - (m - n) = 2n\; \vdots \;2\)

\( \Rightarrow \left( {m + n} \right),\;\;\left( {m - n} \right)\) cùng là các số chẵn hoặc cùng là các số lẻ.

\( \Rightarrow \left( {m - n} \right)\) và \(\left( {m + n} \right)\) phải cùng chia hết cho \(2.\)

Do đó: \((m + n)(m - n) \vdots 4\) nhưng 2018 lại không chia hết cho 4.

Vậy không tồn tại số \(n \in N\) để \({n^2} + 2018\) là số chính phương.

2) Mười đội bóng chuyền tham gia giải bóng chuyền VTV cup 2018. Cứ hai đội trong giải đấu đó thi đấu với nhau đúng một trận. Đội thứ nhất thắng \({x_1}\)  trận và thua \({y_1}\)  trận, đội thứ hai thắng \({x_2}\)  trận và thua \({y_2}\)  trận,….; đội thứ 10 thắng \({x_{10}}\)  trận và thua \({y_{10}}\)  trận. Biết rằng trong một trận đấu bóng chuyền không có trận hòa.

Chứng minh rằng: \({x_1}^2 + {x_2}^2 +  \ldots  + {x_{10}}^2 = {y_1}^2 + {y_2}^2 +  \ldots  + {y_{10}}^2\)

Từ bài toán ta thấy mỗi đội bóng chuyền thi đấu đúng 9 trận hay là : \({x_1} + {y_1} = {x_2} + {y_2} = ... = {x_{10}} + {y_{10}} = 9.\)

Do cứ 2 đội trong giải đấu thi đấu với nhau thì chỉ thắng hoặc thua nghĩa là: \({x_1} + {x_2} + ... + {x_{10}} = {y_1} + {y_2} + ... + {y_{10}}.\)

Ta xét hiệu:

\(\begin{array}{l}{x_1}^2 + {x_2}^2 + ... + {x_{10}}^2 - \left( {{y_1}^2 + {y_2}^2 + ... + {y_{10}}^2} \right)\\ = \left( {{x_1} - {y_1}} \right)\left( {{x_1} + {y_1}} \right) + \left( {{x_2} - {y_2}} \right)\left( {{x_2} + {y_2}} \right) + ... + \left( {{x_{10}} - {y_{10}}} \right)\left( {{x_{10}} + {y_{10}}} \right)\\ = 9\left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_{10}} - {y_1} - {y_2} - ... - {y_{10}}} \right) = 0.\end{array}\)

Vậy \({x_1}^2 + {x_2}^2 +  \ldots  + {x_{10}}^2 = {y_1}^2 + {y_2}^2 +  \ldots  + {y_{10}}^2\)