a) Khi thực hiện xây dựng trường điển hình đổi mới...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

b) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sau đó áp dụng định lý Vi-ét để làm bài.

Giải chi tiết:

a) Khi thực hiện xây dựng trường điển hình đổi mới năm 2017, hai trường trung học cơ sở A và B có tất cả 760 học sinh đăng ký tham gia nội dung hoạt động trải nghiệm. Đến khi tổng kết, số học sinh tham gia đạt tỷ lệ 85% so với số đã đăng ký. Nếu tính riêng thì tỷ lệ học sinh tham gia của trường A và trường B lần lượt là 80% và 89,5%. Tính số học sinh ban đầu đăng ký tham gia của mỗi trường.

Gọi số học sinh trường A đăng ký hoạt động là \(x\) (học sinh), \(\left( {x < 760,\;x \in {N^*}} \right).\)

Gọi số học sinh trường B đăng ký hoạt động là \(y\) (học sinh), \(\left( {y < 760,\;y \in {N^*}} \right).\)

Khi đó tổng số học sinh hai trường đăng kí là: \(x + y = 760.\;\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\)

Số học sinh hai trường tham gia là: \(760.\frac{{85}}{{100}} = 646\) (học sinh).

Số học sinh trường A tham gia là: \(80\% x = \frac{4}{5}x\) (học sinh).

Số học sinh trường B tham gia là: \(89,5\% y = \frac{{179}}{{200}}y\) (học sinh).

Theo đề bài ta có phương trình: \(\frac{4}{5}x + \frac{{179}}{{200}}y = 646\;\;\;\left( 2 \right).\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 760\\\frac{4}{5}x + \frac{{179}}{{200}}y = 646\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 760\\160x + 179y = 129200\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}160x + 160y = 121600\\160x + 179y = 129200\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}19y = 7600\\x = 760 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 400\;\;\;\left( {tm} \right)\\x = 360\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy ban đầu trường A có 360 học sinh đăng ký, trường B có 400 học sinh đăng ký.

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho phương trình \(2{x^2} - \left( {m + 5} \right)x - 3{m^2} + 10m - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;\;{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = 4.\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2} \Leftrightarrow \Delta  > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {m + 5} \right)^2} - 4.2\left( { - 3{m^2} + 10m - 3} \right) > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 10m + 25 + 24{m^2} - 80m + 24 > 0\\ \Leftrightarrow 25{m^2} - 70m + 49 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {5m - 7} \right)^2} > 0\\ \Leftrightarrow m \ne \frac{7}{5}\end{array}\)

Với \(m \ne \frac{7}{5}\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\;{x_2}.\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{m + 5}}{2}\\{x_1}{x_2} = \frac{{ - 3{m^2} + 10m - 3}}{2}\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + x_2^2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2} = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) - {x_1}{x_2} = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{m + 5}}{2}} \right)^2} - \left( {\frac{{m + 5}}{2}} \right) - \frac{{ - 3{m^2} + 10m - 3}}{2} = 4\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 5} \right)^2} - 2\left( {m + 5} \right) + 2\left( {3{m^2} - 10m + 3} \right) = 16\\ \Leftrightarrow 7{m^2} - 12m + 5 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {7m - 5} \right)\left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7m - 5 = 0\\m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{5}{7}\;\;\left( {tm} \right)\\m = 1\;\;\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(m = \frac{5}{7}\) hoặc \(m = 1\) thỏa mãn bài toán.

Chọn C.