Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sq...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 1}}\) và \(B = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x + 2\sqrt x  - 3}} - \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\) với \(x \ge 0;\,\,x \ne 1\)

1) Tính giá trị của biểu thức A khi \(x = 9\).

Do \(x = 9\) thỏa mãn điều kiện nên thay \(x = 9\) vào biểu thức A ta có:

\(A = \frac{{\sqrt 9  + 4}}{{\sqrt 9  - 1}} = \frac{{3 + 4}}{{3 - 1}} = \frac{7}{2}\)

Vậy khi \(x = 9\) thì \(A = \frac{7}{2}\).

2) Chứng minh \(B = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\).

Với \(x \ge 0;\,\,x \ne 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}B = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x + 2\sqrt x  - 3}} - \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\\B = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{x - \sqrt x  + 3\sqrt x  - 3}} - \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\\B = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) + 3\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\\B = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} - \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\\B = \frac{{3\sqrt x  + 1 - 2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\B = \frac{{3\sqrt x  + 1 - 2\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\\B = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\end{array}\)

Vậy \(B = \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\,\,,\left( {x \ge 0;x \ne 1} \right)\)

3) Tìm tất cả các giá trị của x để \(\frac{A}{B} \ge \frac{x}{4} + 5\)

Với \(x \ge 0;\,\,x \ne 1\)

\(\begin{array}{l}\frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 1}}:\frac{1}{{\sqrt x  - 1}} = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 1}}.\left( {\sqrt x  - 1} \right) = \sqrt x  + 4\\\frac{A}{B} \ge \frac{x}{4} + 5 \Leftrightarrow \sqrt x  + 4 \ge \frac{x}{4} + 5\\ \Leftrightarrow 4\sqrt x  + 16 \ge x + 20\\ \Leftrightarrow x - 4\sqrt x  + 4 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x  - 2} \right)^2} \le 0\\ \Leftrightarrow \sqrt x  - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x = 4\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy x = 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.