Cho đường tròn (O) đường kính AB, M thuộc (O) khác...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)      CMR: tam giác OCD cân và OEFK là tứ giác nội tiếp.

Ta có : \(\widehat {CMD} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( I \right)\))

 \(\widehat {CMO} = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \)  D, M, O thẳng hàng.

Mặt khác  \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\\AB \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB//CD\).

Do vậy : \(\widehat {OCD} = \widehat {COA} = \widehat {COD}\,\,\left( {slt} \right) \Rightarrow \) tam giác OCD cân tại D.

Mặt khác : \(\widehat {OCD} = \widehat {KEF}\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)

\( \Rightarrow \widehat {KOF} = \widehat {KEF} \Rightarrow \) tứ giác OFEK nội tiếp.

b)     Chứng minh tam giác OEF và CED đồng dạng.

Ta có: \(\widehat {OME} = \widehat {ECD}\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat {ECD} = \widehat {OBE}\,\,\left( {slt} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {OME} = \widehat {OBE} \Rightarrow \) tứ giác OMBE nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

Do đó: \(\widehat {OEB} = \widehat {OMB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OB).

Mà \(OM = OB \Rightarrow \Delta OMB\) cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OMB} = \widehat {OBM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} = \widehat {KOF} = \widehat {KEF}\)

\( \Rightarrow \widehat {OEB} = \widehat {KEF}\).

Mà \(\widehat {CED} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I)

\( \Rightarrow \widehat {KEB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {OEB} + \widehat {OEK} = {90^0} \Rightarrow \widehat {KEF} + \widehat {OEK} = {90^0} \Rightarrow \widehat {OEF} = {90^0} \Rightarrow OE \bot OF\)

Do đó: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {OEF} = \widehat {CED} = {90^0}\\\widehat {OFE} = \widehat {CDE}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta CED \sim \Delta OEF\,\,\left( {g.g} \right)\)

c)      Đường thẳng đi qua 2 điểm của (O) và (I) cắt AC tại H. Chứng minh các đường AF, CK, OH đồng quy.

Ta có tam giác OCD cân tại D (cmt) có \(DF \bot CO\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow FC = FO\) (đường cao đồng thời là trung tuyến)  (1).

Tứ giác OEFK nội tiếp (cmt)

\( \Rightarrow \widehat {OKF} + \widehat {OEF} = {180^0} \Rightarrow \widehat {OKF} = {180^0} - \widehat {OEF} = {180^0} - {90^0} = {90^0} \Rightarrow OK \bot KF \Rightarrow AB \bot KF\)

Mà \(AB \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow FK//AC\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow KA = KO\) (Định lí đường trung bình của tam giác).

Áp dụng phương trình tích đường tròn ta có : \(H{C^2} = HN.HM = H{A^2} \Rightarrow HC = HA.\)

Do đó AF, CK, OH là 3 đường trung tuyến của tam giác ACO nên đồng quy.

Ta có điều phải chứng minh.